Teoretisk fysik — Einstein-nivå

Avancerad teoretisk fysik på högsta nivå. Speciell och allmän relativitet, kvantmekanik, kvantfältteori, statistisk mekanik, Lagrangian- och Hamilton-mekanik, elektrodynamik, kosmologi samt Einsteins egna arbeten. För forskarstuderande, fysiker, och vuxna som vill bli utmanade på riktigt.

Ämne: Fysik · Nivå: Vuxen · 279 kort

Innehåll

Lorentzfaktorn är γ = 1/√(1−v²/c²) = 1/√(1−β²) där β = v/c. För v ≪ c gäller γ ≈ 1 + ½β² + ⅜β⁴ + … (Taylor-utveckling).
Lorentztransformation för en boost längs x-axeln med hastighet v: t' = γ(t − vx/c²), x' = γ(x − vt), y' = y, z' = z. Invers fås genom v → −v.
Minkowski-metrik (västsign-konventionen): η_μν = diag(+1, −1, −1, −1). Invariant intervall: ds² = c²dt² − dx² − dy² − dz². Tidslika om ds² > 0, ljuslika ds² = 0, rumlika ds² < 0.
Fyrvektorer transformeras som x^μ → Λ^μ_ν x^ν där Λ ∈ SO(1,3). Kontravariant x^μ = (ct, x), kovariant x_μ = η_μν x^ν = (ct, −x). Invariant: x^μ x_μ.
Relativistisk energi-momentum-relation: E² = (pc)² + (mc²)². För massiv partikel E = γmc², p = γmv. För foton: m = 0 ⟹ E = pc.
Fyrmomentum p^μ = (E/c, p). Invarianten p^μ p_μ = (E/c)² − |p|² = m²c² är samma i alla inertialsystem och definierar partikelns vilomassa.
Relativistisk hastighetsaddition kollinjär: u' = (u − v)/(1 − uv/c²). Transvers komponent: u'_⊥ = u_⊥/[γ(1 − uv_∥/c²)]. För u = c blir alltid u' = c (postulat).
Relativistisk Doppler-effekt: f_obs = f_emit · √[(1−β)/(1+β)] för källa som rör sig bort längs siktlinjen. Transvers (transversal) Doppler: f_obs = f_emit/γ (rent från tidsdilatation, β = 0 längs siktlinjen).
Compton-formeln: λ' − λ = (h/m_ec)(1 − cos θ). Compton-våglängden λ_C = h/m_ec ≈ 2.426 pm. Skala där fotonens energi blir jämförbar med elektronens vilo-energi.
Mandelstam-variabler för 2→2-spridning a+b→c+d: s = (p_a+p_b)², t = (p_a−p_c)², u = (p_a−p_d)². Identitet: s + t + u = m_a² + m_b² + m_c² + m_d² (c=1).
Ekvivalensprincipen i Einsteins formulering: 'Låg-energi-fysik (alla icke-gravitationella växelverkningar) i ett tillräckligt litet labb i fritt fall är identisk med fysiken i ett inertialsystem i SR.' Detta innebär att lokalt kan gravitationen 'transformeras bort' med ett geodet-koordinatval.
Christoffel-symboler (Levi-Civita-konnexion, torsionsfri): Γ^λ_μν = ½ g^λσ (∂_μ g_σν + ∂_ν g_σμ − ∂_σ g_μν). De är INTE tensorer (transformerar inhomogent). I lokala inertialkoordinater (geodet-koordinater) gäller Γ = 0 i en punkt.
Riemanns krökningstensor: R^ρ_σμν = ∂_μ Γ^ρ_νσ − ∂_ν Γ^ρ_μσ + Γ^ρ_μλ Γ^λ_νσ − Γ^ρ_νλ Γ^λ_μσ. Är ett äkta tensor och mäter ej-kommutativiteten av kovariant derivata: [∇_μ,∇_ν]V^ρ = R^ρ_σμν V^σ.
Symmetrier hos Riemann-tensorn: R_ρσμν = −R_σρμν = −R_ρσνμ = R_μνρσ (antisymmetri i första paret, i sista paret, samt symmetri vid byte av paren). Bianchi-identitet: ∇_[λ R_ρσ]μν = 0, vilket implicerar att G^μν är divergensfri.
Ricci-tensorn: R_μν = R^λ_μλν (kontraktion av Riemann). Ricci-skalär: R = g^μν R_μν. Einstein-tensor: G_μν = R_μν − ½ g_μν R. Bianchi ⟹ ∇^μ G_μν = 0.
Einsteins fältekvationer (med kosmologisk konstant): G_μν + Λ g_μν = (8πG/c⁴) T_μν. T_μν är energi-momentumtensorn. För vakuum med Λ=0: R_μν = 0. Tio kopplade icke-linjära PDE:r.
Schwarzschild-lösningen (sfäriskt symmetriskt vakuum, statiskt): ds² = −(1−2GM/c²r)c²dt² + (1−2GM/c²r)⁻¹ dr² + r²dΩ² där dΩ² = dθ² + sin²θ dφ². Singularitet vid r = 0 (verklig), koordinatsingularitet vid r_s = 2GM/c² (händelse-horisont, kan tas bort med Kruskal-Szekeres-koordinater).
Schwarzschild-radien r_s = 2GM/c² ≈ 2.95 km × (M/M⊙). För Jorden: r_s ≈ 8.87 mm. För Vintergatans centralhål (Sagittarius A*, M ≈ 4.1×10⁶ M⊙): r_s ≈ 1.2·10¹° m ≈ 17 R⊙.
Geodet-ekvationen (free fall): d²x^λ/dτ² + Γ^λ_μν (dx^μ/dτ)(dx^ν/dτ) = 0. För masslosa partiklar används en affin parameter λ istället för τ (egentid odefinierad eftersom dτ = 0).
Hilbert-Einstein-verkan: S_EH = (c⁴/16πG) ∫ R √(−g) d⁴x. Variation δS/δg^μν = 0 ger Einsteins fältekvationer. Att lägga till en kosmologisk term −Λ ger Λ g_μν. Materie-bidrag: S_M med T_μν = −(2/√(−g)) δS_M/δg^μν.
Gravitationsvågor: i lineariserad GR g_μν = η_μν + h_μν med |h| ≪ 1. I TT-gauge (transverse-traceless): □h_μν = −(16πG/c⁴) T_μν. Plana vågor i vakuum har två polarisationer h_+ och h_× (kvadrupolstrålning).
Kerr-metriken (axialsymmetrisk roterande svart hål, J = aMc): har inre och yttre horisonter vid r± = (GM ± √(G²M² − a²c²))/c² samt en ergosfär där tidlikhet bryts. Inom ergosfären tvingas alla världslinjer rotera med hålet (frame dragging, Lense-Thirring).
Reissner-Nordström-metriken (laddat svart hål, q.E.D.-laddning Q): g_tt = −(1 − 2GM/c²r + GQ²/(4πε_0 c⁴ r²)). Två horisonter (yttre, inre) för Q < Q_extreme. Extremt fall: r₊ = r₋ vid GM² = Q²/(4πε_0). Bortom det: naken singularitet (kosmisk censurhypotes förbjuder).
Hawking-temperatur (Schwarzschild-hål): T_H = ħc³/(8πGMk_B). För solens massa: T_H ≈ 6·10⁻⁸ K (långt under CMB — absorberar netto). För ett urgammalt primordialt hål med M ≈ 10¹² kg vore T_H ≈ 10¹¹ K — utstrålar gamma och förångas nu.
Bekenstein-Hawking-entropi: S_BH = k_B A/(4ℓ_P²) där ℓ_P = √(ħG/c³) ≈ 1.616·10⁻³⁵ m är Planck-längden och A = 4πr_s² horisontens area. Skal: ~ 10⁷⁷ k_B för ett supermassivt hål — universums största enskilda entropi-reservoarer.
Penrose-processen: i ergosfären hos ett Kerr-hål kan en partikel klyvas i två där ena får negativ energi (i avlägsna ramen) och faller in, medan den andra eskaperar med högre energi än den initiala. Maximal energiutvinning ur Kerr-hål: 29% av Mc² (extremfallet a = GM/c³).
No-hair-teoremet (Israel, Carter, Hawking, Robinson 1967-1975): ett asymptotiskt platt, stationärt svart hål karakteriseras fullständigt av tre parametrar — massa M, spinn J och laddning Q. Allt annat 'hår' (multipolmoment, baryontal, leptontal) försvinner i kollaps.
ISCO (Innermost Stable Circular Orbit) för Schwarzschild: r_ISCO = 6GM/c² = 3 r_s. För prograd omloppsbana runt extremt Kerr: r_ISCO = GM/c² (nära horisonten). För retrograd: r_ISCO = 9GM/c². Definierar inner-kanten av ackretionsskivor.
Gravitationell rödförskjutning: en foton emitterad på radie r i Schwarzschild-metrik och uppmätt på oändligheten får f_∞ = f_emit √(1−2GM/c²r). För svaga fält: Δf/f ≈ −ΔΦ/c² där ΔΦ = GM/r (positiv skift uppifrån).
Shapiro-tidsfördröjning: radarsignaler som passerar nära Solen fördröjs Δt ≈ (4GM/c³) ln(4r_1 r_2/b²) jämfört med rakt linje-bana, där b är impact-parameter. För en signal som studsar mot Venus nära superior conjunction: Δt ≈ 200 μs.
Tidsberoende Schrödinger-ekvationen: iħ ∂|ψ⟩/∂t = Ĥ|ψ⟩. För en partikel i potential V(x): Ĥ = p̂²/(2m) + V(x̂). I positionsbas: iħ ∂ψ/∂t = −(ħ²/2m)∇²ψ + Vψ.
Schrödinger-, Heisenberg- och Dirac-bilder. Schrödinger: tillstånd utvecklas, operatorer stationära. Heisenberg: operatorer utvecklas via dÔ_H/dt = (i/ħ)[Ĥ,Ô_H] + (∂Ô/∂t)_H. Dirac (interaktion): hälften, hälften — fri Hamiltonian flyttar operatorer, störing flyttar tillstånd. Alla ekvivalenta.
Robertson-Schrödinger-osäkerhetsrelation (generell form): σ_A σ_B ≥ ½ |⟨[Â,B̂]⟩| (Robertson 1929). Skärpt med antikommutator-bidrag: (σ_Aσ_B)² ≥ (½⟨[A,B]⟩)² + (½⟨{A,B}⟩ − ⟨A⟩⟨B⟩)² (Schrödinger 1930).
Kanoniska kommutator-relationer (CCR): [x̂_i, p̂_j] = iħ δ_ij, [x̂_i, x̂_j] = 0, [p̂_i, p̂_j] = 0. För vinkelmomentum: [L̂_i, L̂_j] = iħ ε_ijk L̂_k (su(2)-algebra). [L̂², L̂_z] = 0 ⟹ samtidigt egenvektorer.
Harmonisk oscillator: stege-operatorer â = √(mω/2ħ)(x̂ + ip̂/mω), â† = h.c. Kommutator [â, â†] = 1. Ĥ = ħω(â† â + ½). Egenenergier: E_n = ħω(n + ½), n = 0, 1, 2, … Grundtillstånd har nollpunktenergi E_0 = ½ħω (kan ej stänga av på grund av osäkerhetsrelation).
Väteatomen i icke-relativistisk QM: E_n = −(m_e e⁴)/(2(4πε_0)² ħ² n²) = −13.6 eV / n². Bohr-radie a_0 = 4πε_0 ħ²/(m_e e²) ≈ 0.529 Å. Degeneration vid nivå n: n² (utan spinn-bana), kvanttal n ∈ ℕ, l ∈ {0,…,n−1}, m_l ∈ {−l,…,+l}. Med spinn: 2n².
Pauli-matriser: σ_x = ((0,1),(1,0)), σ_y = ((0,−i),(i,0)), σ_z = ((1,0),(0,−1)). Identiteter: σ_iσ_j = δ_ij I + iε_ijk σ_k, {σ_i,σ_j} = 2δ_ij, [σ_i,σ_j] = 2iε_ijkσ_k. Spinor: Ŝ_i = (ħ/2)σ_i, Ŝ² = (3ħ²/4)I.
Fermis gyllene regel för övergångshastighet under konstant störing V: Γ_i→f = (2π/ħ) |⟨f|V|i⟩|² ρ(E_f). Densitet av sluttillstånd ρ(E_f) avgör konkret form. För oscillerande perturbation V cos(ωt): peak vid resonans E_f − E_i = ±ħω (absorption/stimulerad emission).
WKB-approximationen: för kvasiklassisk område där λ_dB varierar långsamt: ψ(x) ≈ (1/√(p(x))) exp(±(i/ħ) ∫ p(x') dx'), p(x) = √(2m(E−V(x))). Tunnel-koefficient: T ≈ exp(−2∫√(2m(V−E))/ħ dx). Bohr-Sommerfeld-kvantisering: ∮ p dx = 2πħ(n+½) för bundna tillstånd.
Bells olikheter och CHSH-formen: |E(a,b) + E(a,b') + E(a',b) − E(a',b')| ≤ 2 (klassisk lokal realism). Kvantmekanik kan nå max 2√2 (Tsirelsons gräns). Aspects experiment 1982 (med atomstrålar) violerade Bells olikhet med hög signifikans. Lopholes (locality, detection) stängdes 2015 (loophole-free).
Aharonov-Bohm-effekten (1959): laddad partikel som omger en områdad magnetisk flödestub (B=0 utanför) får en mätbar fas Δφ = (q/ħ)∮ A·dl = qΦ/ħ. Demonstrerar att A_μ (inte bara F_μν) är fysisk — motbeviser den klassiska intuitionen att potentialer är 'matematiska bekvämligheter'.
Berry-fas (1984): vid adiabatisk transport av kvanttillstånd genom en sluten slinga i parameterrum förvärvar tillståndet en geometrisk fas γ_n = i∮⟨n(R)|∇_R|n(R)⟩·dR utanöver den dynamiska fasen. Generaliseras till Wilczek-Zee icke-abelisk Berry-fas vid degenererade ytor.
EPR-paradoxen (Einstein-Podolsky-Rosen 1935): två partiklar i ett intrasslat tillstånd (t.ex. singletten (|↑↓⟩ − |↓↑⟩)/√2) har korrelationer som tycks impliera antingen instant verkan på distans eller 'dolda variabler'. Bell-test visar att lokala dolda variabler omförmedlas — verkligheten berättar för en av lokalitet eller realism (modulo superdeterminism och många-världar).
Dekoherens — miljöinduceradd övergång från kvant-superposition till klassisk-liknande blandning. Den reducerade densitetsmatrisen ρ_S = Tr_E(ρ_SE) förlorar utanför-diagonal-element exponentiellt med tid (dekoherens-tiden τ_D ∝ 1/(Δx)²). Förklarar 'mätningen' utan att invokera vågfunktion-kollaps, men löser inte själva mat-problemet.
Wigner-funktionen W(x,p) = (1/πħ)∫⟨x+y|ρ|x−y⟩ e^{2ipy/ħ} dy. Quasi-sannolikhet (kan vara negativ). Marginaler: ∫W dp = ⟨x|ρ|x⟩, ∫W dx = ⟨p|ρ|p⟩. Negativiteten signalerar 'genuint' kvanttillstånd (icke-Gaussiska fördelningar nödvändiga för kvantfördel).
Kanonisk partitionsfunktion: Z(β, V, N) = Σ_i e^{−βE_i} = Tr(e^{−βĤ}) med β = 1/k_BT. Sannolikhet för mikrotillstånd i: p_i = e^{−βE_i}/Z (Boltzmann). Fri energi: F = −k_BT lnZ. Energi: ⟨E⟩ = −∂ lnZ/∂β.
Grand partitionsfunktion: Ξ(β, V, μ) = Σ_{N,i} e^{−β(E_i^{(N)} − μN)} = Tr(e^{−β(Ĥ − μN̂)}). Stor potential: Φ = −k_BT lnΞ = −pV för homogena system. Medelvtal: ⟨N⟩ = (1/β)∂ lnΞ/∂μ.
Bose-Einstein-fördelning: ⟨n_i⟩_BE = 1/(e^{β(ε_i − μ)} − 1). Fermi-Dirac: ⟨n_i⟩_FD = 1/(e^{β(ε_i − μ)} + 1). Maxwell-Boltzmann (årgräns): ⟨n_i⟩_MB ≈ e^{−β(ε_i − μ)}. För fotoner: μ = 0 (oklassat antal); reproducerar Plancks strålningslag.
Plancks strålningslag (spektral energidensitet per våglängd): u(λ,T) = (8πhc/λ⁵)(1/(e^{hc/λ k_BT} − 1)). Integrerat över våglängd: u = aT⁴ med a = 8π⁵ k_B⁴/(15 h³c³). Stefan-Boltzmann-konstant: σ = ac/4 = π² k_B⁴/(60 ħ³ c²).
Wiens förskjutningslag: λ_max T = b med b = 2.898·10⁻³ m·K (löses från d u/dλ = 0 — transcendent: x = 5(1−e^{−x}) ⟹ x ≈ 4.965). Stefan-Boltzmann-lagen för total strålningseffekt: P = σ A T⁴ med σ ≈ 5.67·10⁻⁸ W/m²K⁴.

Teoretisk fysik — Einstein-nivå

Innehåll

Mer från Fysik