Matematik åk 7-9
Tal, algebra, geometri, funktioner och statistik — allt centralt stoff från högstadiet.
Ämne: Matematik · Nivå: Högstadium (13–15) · 418 kort
Innehåll
- Räkneordningen (PEMDAS): 1) Parenteser, 2) Potenser/rötter, 3) Multiplikation/division (vänster→höger), 4) Addition/subtraktion (vänster→höger).
- Naturliga tal (ℕ): 0, 1, 2, 3, 4 ... Räknetal för antal.
- Hela tal (ℤ): naturliga tal plus negativa: ... –2, –1, 0, 1, 2 ...
- Rationella tal (ℚ): tal som kan skrivas som ett bråk a/b där b ≠ 0. Exempel: ½, 0,75, –⅔, 5.
- Irrationella tal: tal som INTE kan skrivas som ett bråk. Exempel: √2, π, e. Oändlig icke-periodisk decimalutveckling.
- Reella tal (ℝ): alla rationella + irrationella tal – allt som ryms på tallinjen.
- Absolutbelopp |a| = avståndet till noll på tallinjen, alltid icke-negativt. |–5| = 5.
- Primtal: naturligt tal > 1 som bara är delbart med 1 och sig självt. Talet 2 är det enda jämna primtalet.
- De första primtalen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31.
- Sammansatt tal: naturligt tal > 1 som inte är primtal – kan delas upp i primfaktorer. T.ex. 12 = 2² · 3.
- Delbart med 3: siffersumman är delbar med 3. (132 → 1+3+2 = 6 → ja.)
- Delbart med 9: siffersumman är delbar med 9. (297 → 2+9+7 = 18 → ja.)
- Delbart med 4: de TVÅ sista siffrorna bildar ett tal delbart med 4.
- Vårt talsystem är decimalt (bas 10), positionssystem – siffrans värde beror på dess plats.
- Binär (bas 2): bara siffrorna 0 och 1. Datorer arbetar i binärt. Varje siffra kallas en bit.
- Hexadecimalt (bas 16): siffrorna 0–9 och A–F. Programmerare använder eftersom 4 bitar = 1 hex-siffra.
- Avrunda aldrig mitt i en beräkning – spara det till slutsvaret, annars hopas felen.
- Värdesiffror: de 'meningsfulla' siffrorna i ett tal. Inledande nollor räknas inte. 0,00450 har tre värdesiffror.
- Grundpotensform: a · 10^n där 1 ≤ a < 10 och n är heltal. T.ex. 5 800 000 = 5,8 · 10⁶.
- Avogadros tal ≈ 6,022 · 10²³ – exempel på naturligt stort tal i grundpotensform.
- Addition är kommutativ (a+b = b+a) och associativ ((a+b)+c = a+(b+c)). Subtraktion är ingetdera.
- Subtraktion kan skrivas som addition med ett negativt tal: a – b = a + (–b).
- Plus och minus: två minustecken efter varandra ger plus. 5 – (–3) = 5 + 3 = 8.
- Tecken vid multiplikation: minus · minus = plus, plus · minus = minus.
- Distributiva lagen: a · (b + c) = a · b + a · c. Grunden för att lösa upp parenteser i algebra.
- Division med noll är inte definierad – det finns inget tal som multiplicerat med 0 ger något annat än 0.
- 0 / 5 = 0. Noll delat på något (icke-noll) är alltid noll.
- Multiplicera med 5: multiplicera med 10 och dela på 2. 84 · 5 = 840 / 2 = 420.
- Multiplicera med 9: multiplicera med 10 och dra bort en gång talet. 7 · 9 = 70 – 7 = 63.
- Bråk: tal skrivet som täljare/nämnare. Större nämnare betyder mindre delar.
- Likvärdiga bråk: ½ = 2/4 = 3/6 = 50/100. Multiplicera/dividera både täljare och nämnare med samma tal.
- Förkorta bråk: dela täljare och nämnare med deras största gemensamma faktor (sgd).
- Förlänga bråk: multiplicera täljare och nämnare med samma tal – behövs för att få gemensam nämnare.
- Addition av bråk kräver gemensam nämnare. Addera täljarna, behåll nämnaren.
- MGN (minsta gemensamma nämnare): det minsta talet som båda nämnarna går jämnt upp i.
- Multiplikation av bråk: täljare · täljare över nämnare · nämnare. ⅔ · ¾ = 6/12 = ½.
- Division av bråk: multiplicera med inversen (vänd andra bråket upp och ner). ½ / ⅓ = ½ · 3 = 3/2.
- Multiplikation med ett bråk < 1 ger ett MINDRE resultat. ½ · 8 = 4.
- Äkta bråk: täljare < nämnare (¾). Oäkta bråk: täljare ≥ nämnare (5/3). Blandad form: heltal + äkta bråk (1⅔).
- Periodiskt decimaltal uppstår när nämnaren har andra primfaktorer än 2 och 5. ⅓ = 0,333...
- Decimaltalets uppbyggnad: tiondel = 0,1, hundradel = 0,01, tusendel = 0,001. Varje siffra till höger är 10 ggr mindre.
- Multiplikation av decimaltal: räkna utan kommat, sätt sedan kommat lika många steg från slutet som totala antalet decimaler.
- Division med decimaltal: förläng både täljare och nämnare med 10, 100, 1000... så nämnaren blir heltal.
- Procent (%) betyder 'per hundra' eller hundradel. 5 % = 5/100 = 0,05.
- 25 % = ¼ = 0,25. Bemästra omvandlingar mellan procent, bråk och decimaltal.
- 75 % = ¾ = 0,75. 100 % = hela = 1.
- Procentdel = procentsats · helhet. 20 % av 350 = 0,20 · 350 = 70.
- Procentsats = procentdel / helhet. 9/25 = 0,36 = 36 %.
- Helhet = procentdel / procentsats. 15/0,30 = 50.
- Promille (‰) = per tusen = 0,001. ppm = per miljon = 0,000001.